埒を明ける日々: mathematics

前回の続き

果たしてFourierの着想は妥当なものだったのでしょうか？得られた係数

と再構成された関数

から、これを確認してみましょう。

現代的な立場で言うと、これは丁度

の関数に限定した場合のみ有効です。係数を求めるのに使った正弦関数は

としてスケールすることで正規直交系

を構成し、フーリエ級数とフーリエ係数は次のように与えられます。

さて、Fourierはこの手法を一歩進めて次のように考えたのではないでしょうか。三角関数の周期を[0,π]に限定しなければ、より広い問題に適用できるのではないか？正弦関数による直交関係が有効であれば、余弦関数が有効な場合もあるのではないか？1807年にFourierは仏科学アカデミーに提出した論文において、積分区間[-π,π]で正弦関数と余弦関数を重ね合わせることで、関数の級数展開が可能であると述べます。つまり正規直交系として、

を選び、この関数が供える偶奇性

を利用して、次のような展開を得たのです。

この時、展開した係数は次で与えられます。

ここで現代的な見通しの為に少し表示を変えることにしましょう。先の直交系は

とまとめて書く事が出来ますから、直交関係は

となりますね。Fourierの対応は次のように改めましょう。

当時既にオイラーの関係式

は広く知られていましたが、これを使えば先程の正規直交系は

となります。直交関係はヒルベルト空間での内積を考えることで解決します。

これで複素領域まで広げたヒルベルト空間

の関数についてFourierの対応を述べることが出来ます。

ところでFourierは熱方程式を考えていた為に正規直交系として正弦関数を発見しましたが(Fourierの研究の後にRayleighも音に関する研究から余弦関数による展開を発見しています)、他の正規直交系は無いのでしょうか？工学の分野では有限要素法などで利用する直交系にLegendre多項式があります。関数列

からGram-Schmidtの方法を利用して直交した基底関数列を構成することが可能で、こうして得られた正規直交系

がLegendre多項式です。直交関係は直接計算によって

と確認できます。これを利用した場合にFourierの対応が有効な関数は

です。

to be continued..

どの時代でも、今ある場所から見渡した世界は最も優れた装いをとるに違いありません。そしてしばしば、その美しい姿に欺かれ、形式という心地良い泥濘にはまって行くのです…。ですがもし、先人が知見を得たまさにその時の感動を知ることが出来たなら、今ある知識は実存としての強度を伴い、私たちの目に映ることでしょう。数学史というのはその為の手立てだと思うのです。

1807年、仏の数学者Joseph Fourierは当時目覚しい発展を続ける解析学において、とりわけ重大な、そして容易には受け入れ難い事実を発表します。フーリエ級数の発見です(有名な著書``熱の解析的理論''の発刊は1822年、Augustin-Louis Cauchyが当時の解析学の総決算と呼ぶべき著書``解析教程''をまとめたのは1821年のことです)。ヒルベルト空間に限定するなどの発想が無い当時、Fourierの手法は当然のことながら怪しげな技術として見做す数学者が多数存在しました。実際、収束性を議論していない式の項別積分に基づく彼の着想は、理論的には脆い基盤にありましたが、そういった冒険が世界を切り開いて来たことは歴史が教える通りです。

それではFourierはどのようにしてこの着想に至ったのでしょうか？

Fourierの取り組んでいた問題は、後の著書の題となるように熱の振舞いに関するものでした。ある均質な空間に初期状態として温度の分布が与えられたとき、任意の時間が経過すると分布はどのようになっているか？特に空間の境界に対して条件を課すことから、初期値-境界値混合問題と言われます。簡単の場合に述べますと、密度がρ、比熱をc、熱伝導率をkとする長さπの鉄棒が、時刻t=0において位置xの温度をf(x)として与えられた時、時刻0<tについてu(x,t)を求めよ、但しu(0,t)=u(π,t)=0とする、というものでした。ここで密度・比熱・熱伝導率を定数とし、k=cρとなるよう定めると、次のような問題となります。